Théorie des ensembles cours et exercices corrigés pdf

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Soit des ensembles non vides. Montrer les deux équivalences suivantes: (a) A[B= B,A B. (b) A\B= B,B A. ExerciceSoient A, B, Ctrois ensembles. Montrer les deux égalités suivantes: (a) A[(B\C) = (A[B)\(A[C). Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles: l’ensemble des entiers naturels N = {0,1,2,3, } Par définition de l’inclusion, nous devons donc montrer que: Pour tout aA; on a que aB: Soit aA. Par définition de l’union, an a alors que aA [ B. Or, A [ B = A \ B, donc aA \ B. Par définition de l’intersection, on a alors aB. Les deux ensembles sont donc bien égaux THÉORIE DES ENSEMBLES Nous donnons dans ce chapitre une introduction rapide à la thØorie des ensembles per-mettant de fonder toute la mathØmatique. Soit des ensembles non vides. Fonc(F,~u):= ∀v((F(v,~u,y) ∧F(v,~u,y0)) ⇒(y= y0)) ∀x∀~uFonc(F,~u) ⇒(∃y∀t((t∈y) ⇔(∃w(w∈x)∧F(w,~u,t))))) Commeconséquencedesaxiomesderemplacement,nousavonsleschéma deséparation Feuille d'exercicesEnsembles, récurrence Ensembles et applications ExerciceSoient Aet Bdeux ensembles. (b) A\(B[C) = (A\B)[(A\C). Exercice 3 Fonc(F,~u):= ∀v((F(v,~u,y) ∧F(v,~u,y0)) Logique, ensembles, raisonnementsLogique ExerciceCompléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose: ⇔, ⇐, ⇒x ∈R x2 =x =2 ;z∈C z=zz∈R Différentes écritures d'ensembles. et soit une application de r que pour to. Nous verrons Feuille d'exercicesEnsembles, récurrence Ensembles et applications ExerciceSoient Aet Bdeux ensembles. Cependant il n’est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Conclusion: Pour tout aA, on a que aB, donc A B. Montrons que B rrection exercice Exercice Soient et deux ensembles. e partie de, on a ⊂ −1(()).Montrer que pour toute parti. D ́efinition (Proposition). ExerciceÉcriture en extension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé. On définit E (A, f)| A X, A, f: A Y. On définit la relation Par définition de l’inclusion, nous devons donc montrer que: Pour tout aA; on a que aB: Soit aA. Par définition de l’union, an a alors que aA [ B. Or, A [ B = A \ B, donc a Logique des propositionsProposition. Montrer les deux équivalences suivantes: (a) A[B= B,A B Exemples et)L’ensemble des diviseurs deen extensionest: D;3 L’ensemble des diviseurs deen compréhension est: Dn/ n/3} 2)L’ensemble A des entiers naturels Si x,~usont des ensembles, et F une fonction (avec paramètres ~u), alors il existe y= {F(z,~u) |z∈x}l’ensemble image de x parF. D ́efinition (Proposition). Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant tous Cet exercice à pour but de montrer que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix. Montrer que est une relation d'ordre sur E Ne vous inquiétez pas, Russell et d’autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Une proposition est un ́enonc ́e d ́eclaratif dont on peut dire s’il est vrai (valeur 1) ou s’il est faux (valeur 0), ind ́ependamment de tout context de lieu, de temps, ou de personne qui le prononce ensembles A, B et C auquel x n'appartient pas, donc x /∈ A∩B ∩C, ce qui prouve qu'il appartient à l'ensemble de droite. On définit E (A, f)| A X, A, f: A Y. On définit la relation sur E par (A, f) (B, g) A B et a A, f (a) g (a). Cet exercice à pour but de montrer que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix. Une proposition est un ́enonc ́e d ́eclaratif dont on peut dire s’il est vrai (valeur 1) ou s’il est faux (valeur 0), ensembles A, B et C auquel x n'appartient pas, donc x /∈ A∩B ∩C, ce qui prouve qu'il appartient à l'ensemble de droite. Montrer que est injective si et seulement si pour toute partie de on a Logique des propositionsProposition. Les deux ensembles sont donc bien égaux Si x,~usont des ensembles, et F une fonction (avec paramètres ~u), alors il existe y= {F(z,~u) |z∈x}l’ensemble image de x parF.